Dalam geometri aksiomatic terdapat beberapa istilah-istilah yang sering digunakan, seperti :
- Aksioma/posulat adalah pernyataan yang sudah pasti kebenaranya.
- Dalil/teorema adalah kebalikan dari aksioma, yakni sebuah pernyataan yang belum pasti kebenarannya.
- Definisi adalah suatu pernyataan mengenai ciri-ciri suatu hal.
Gambaran :
..................... (dianggap benar)
Pernyataan pertama...........(benar)
Pernyataan kedua.............(benar)
Pernyataan ke n-1............(benar)
SIFAT-SIFAT :
1. Lengkap : maksudnya, tidak mungkin menambahkan aksioma lain yang konsisten dan indefenden.
2. Konsisten : tidak bias dibentuk dari aksioma lain, aksioma yang ada tidak mungkin menghasilkan teorema-teorema yang ada dan telah dibuktikan sebelumnya.
3. Bebas : setiap aksioma yang ada pada system, bukan merupakan turunan dari aksioma lain.
CONTOH SISTEM AKSIOMA DENGAN UNDEFINED TEANS AND FO
Aksioma-aksiomanya adalah sebgai berikut :
· Asksioma 1: terdapat tepat tiga 
yang berbeda.
yang berbeda.
· Aksioma 2 : untuk setiap dua yang berbeda pada tepat satu 
.
yang berbeda pada tepat satu .
· Aksioma 3 : tidak semua pada yang sama.
pada yang sama.
· Aksioma 4 : sebarang dua yang berbed pada minimal satu pada
yang berbed pada minimal satu pada
keduanya.
NB. : Fe dibaca Ef e
F0 dibaca Ef Nol
(kagak tau saya artinya apaan, knapa harus Fe/F0..kenapa bukan huruf lain….gx pernah dijelasin ama dosen..kagak pernah nanya juga sih
)
Dari aksioma-aksioma diatas, akan memiliki beberapa teorema diantaranya :
)Dari aksioma-aksioma diatas, akan memiliki beberapa teorema diantaranya :
TEOREMA Fe – F0 I: setiap dua F0 yang berbeda terdapat atau memuat tepat satu Fe.
BUKTI : Aksioma 4 menjamin sembarang dua F0 pada minimal satu Fe. Karenanya, untuk membuktikan teorema Fe – F0 I kita cukup membuktikan bahwa tidak mungkin setiap F0 yang berbeda memuat lebih dari satu Fe. Kita akan menggunakan bukti kontradiksi. Andaikan setiap dua F0 yang berbeda memuat dua Fe. Maka tentu saja akan bertentangan denga aksioma 2 yang mengatakan “bahwa dua Fe yang berbeda pada tepat satu F0”. Pengandaian setiap dua F0 yang berbeda memuat lebih dari dua Fe juga akan menimbulkan pertentangan / kontradiksi dengan aksioma 2. Dengan demikian, dua F0 yang berbeda haruslah memuat tepat satu Fe.
TEOREMA Fe – F0 II : terdapat tepat tiga F0.
BUKTI : Aksioma 2 menyatakan setiap pasang Fe yng berbeda termasuk pada tepat satu F0. Aksioma 1 menyatakan terdapat tepat tiga Fe yang berbeda pada system. Maka berdasarkan aksioma 1 dan 2 tersebut terdapat paling sedikit tiga F0. Untuk membuktikan teorema Fe – F0 II, kita cukup membuktikan tidak mungkin terdapat lebih dari tiga F0. Kita akan menggunakan bukti kotradiksi, andaikan terdapat empat F0. Menurut teorema F0 – Fe I, maka F0 yang keempat bersama dengan tiga F0 yang sebelumnya akan membentuk enam Fe. Padahal menurut aksioma 1, hanya terdapat tepat tiga Fe yang berbeda. Akibatnya terdapat kontradiksi, kontradiksi seperti itu juga akan terjadi jika kita mengandaikan terdapat lebih dari empat F0. Jadi haruslah tidak boleh lebih dari tiga F0. Dengan demikian terdapat tepat tiga F0.
TEOREMA Fe – F0 III : setiap F0 mempunyai tpat dua Fe pada keduanya.
BUKTI : menrut aksoma 2, setiap F0 memiliki paling sedikit dua Fe yang terletak padanya. Selanjutnya, andaikan terdapatlebih dari dua Fe yang termasuk tepat pada satu F0. Misalkan terdapat tiga Fe yang termasuk pada satu F0. Namun hal ini akan bertentangan dengan aksioma 1 dan aksioma 3, yang menyatakan bahwa terdapat tepat tiga Fe dan tidak semunya berada pada F0 yang sama. Kontradiksi ini akan terjadi juga jika terdapat lebih dari tiga Fe yang termasuk pada satu F0. Jadi harulah setiap F0 memiliki tepat dua Fe yang termasuk padanya.
Dngan kata lain:
Aksioma 2 menjamin untuk setiap dua Fe yang berbeda pada tepat satu F0. Katakan : 
, 
,
Berarti dia berada pada tiga Fe (terjadi kontradiksi dengan aksioma 3). Karena terjadi kontradiksi, maka pengandaian diingkar. Berarti untuk sebarang F0 tidak lebih berada pada dua Fe.
"SEMOGA ARTIKEL INI BERMANFAAT"
0 komentar:
Posting Komentar